使用Python實(shí)現(xiàn)牛頓法求極值

更新時(shí)間：2020年02月10日 18:11:27 作者：lxy孫悟空

今天小編就為大家分享一篇使用Python實(shí)現(xiàn)牛頓法求極值，具有很好的參考價(jià)值，希望對(duì)大家有所幫助。一起跟隨小編過(guò)來(lái)看看吧

對(duì)于一個(gè)多元函數(shù) 用牛頓法求其極小值的迭代格式為

其中為函數(shù) 的梯度向量，為函數(shù) 的Hesse（Hessian）矩陣。

上述牛頓法不是全局收斂的。為此可以引入阻尼牛頓法（又稱帶步長(zhǎng)的牛頓法）。

我們知道，求極值的一般迭代格式為

其中為搜索步長(zhǎng)，為搜索方向（注意所有的迭代格式都是先計(jì)算搜索方向，再計(jì)算搜索步長(zhǎng)，如同瞎子下山一樣，先找到哪個(gè)方向可行下降，再?zèng)Q定下幾步）。

取下降方向即得阻尼牛頓法，只不過(guò)搜索步長(zhǎng) 不確定，需要用線性搜索技術(shù)確定一個(gè)較優(yōu)的值，比如精確線性搜索或者Goldstein搜索、Wolfe搜索等。特別地，當(dāng) 一直取為常數(shù)1時(shí)，就是普通的牛頓法。

以Rosenbrock函數(shù)為例，即有

于是可得函數(shù)的梯度

函數(shù) 的Hesse矩陣為

編寫Python代碼如下（使用版本為Python3.3）：

"""
Newton法
Rosenbrock函數(shù)
函數(shù) f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def jacobian(x):
 return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])

def hessian(x):
 return np.array([[-400*(x[1]-3*x[0]**2)+2,-400*x[0]],[-400*x[0],200]])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數(shù)
plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數(shù)的20條輪廓線


def newton(x0):

 print('初始點(diǎn)為:')
 print(x0,'\n')
 W=np.zeros((2,10**3))
 i = 1
 imax = 1000
 W[:,0] = x0 
 x = x0
 delta = 1
 alpha = 1

 while i<imax and delta>10**(-5):
  p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
  x0 = x
  x = x + alpha*p
  W[:,i] = x
  delta = sum((x-x0)**2)
  print('第',i,'次迭代結(jié)果:')
  print(x,'\n')
  i=i+1
 W=W[:,0:i] # 記錄迭代點(diǎn)
 return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=newton(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點(diǎn)收斂的軌跡
plt.show()

上述代碼中jacobian(x)返回函數(shù)的梯度，hessian(x)返回函數(shù)的Hesse矩陣，用W矩陣記錄迭代點(diǎn)的坐標(biāo)，然后畫出點(diǎn)的搜索軌跡。

可得輸出結(jié)果為

初始點(diǎn)為:
[-1.2 1. ] 

第 1 次迭代結(jié)果:
[-1.1752809 1.38067416] 

第 2 次迭代結(jié)果:
[ 0.76311487 -3.17503385] 

第 3 次迭代結(jié)果:
[ 0.76342968 0.58282478] 

第 4 次迭代結(jié)果:
[ 0.99999531 0.94402732] 

第 5 次迭代結(jié)果:
[ 0.9999957 0.99999139] 

第 6 次迭代結(jié)果:
[ 1. 1.]

即迭代了6次得到了最優(yōu)解，畫出的迭代點(diǎn)的軌跡如下：