漢諾塔問題，是心理學(xué)實驗研究常用的任務(wù)之一。當(dāng)然我們是學(xué)計算機(jī)的，因此我們嘗試用計算機(jī)去求解它。

例題

openjudge6261 漢諾塔問題

描述

有一種智力玩具，在一塊銅板上有三根桿，最左邊的桿上自上而下、由小到大順序串著由n個圓盤構(gòu)成的塔。目的是將最左邊桿上的盤全部移到中間的桿上，條件是一次只能移動一個盤，且不允許大盤放在小盤的上面。這就是著名的漢諾塔問題。

假定圓盤從小到大編號為1，2，3，……

輸入

輸入為一個整數(shù)后面跟三個單字符字符串。

整數(shù)為盤子的數(shù)目，后三個字符表示三個桿子的編號。

輸出

輸出每一步移動盤子的記錄。一次移動一行。

每次移動的記錄為例如 a->3->b 的形式，即把編號為3的盤子從a桿移至b桿。

樣例輸入

2 a b c

樣例輸出

a->1->c
a->2->b
c->1->b

漢諾塔問題

漢諾塔問題的解決算法是一種經(jīng)典的分治算法，而分治算法最重要的三個步驟：

1. 分解：如果說我們要將num個盤子從原柱子l通過過渡柱子mid移動到目標(biāo)柱子r，那么我們可以先把上面的(num - 1)個盤子從原柱子l移動到過渡柱子mid，之后再把編號num的這個盤子移動到目標(biāo)柱子r上，最后再把那(num - 1)個盤子從過渡柱子mid移動到目標(biāo)柱子r，就成功了。
   
2. 解決：用遞歸分別再去解決子問題并輸出。（邊界條件：當(dāng)只有一個盤子既num == 1時，直接輸出就好了）。
   
3. 合并：遞歸回來的就是結(jié)果了，不用再合并。
   

簡而言之，就是每次我們把第num個盤子單獨看成一個整體，剩下(num - 1)個盤子看成一個整體，之后對這兩個整體分別去進(jìn)行移動，使其到達(dá)目標(biāo)位置。

最后算一下時間復(fù)雜度，這里稍微有些難算。

假設(shè)i個盤子從一根柱子移動到另一根柱子需要step(i)步

對于一個單獨的塔，程序會進(jìn)行以下操作：

1. 將上面的(n - 1)個盤子移動到過渡柱子，次數(shù)為step(n - 1)。
2. 將第n個盤子移動到目標(biāo)柱子，次數(shù)為1。
3. 將過渡柱子上的(n - 1)個盤子移動到目標(biāo)柱子，次數(shù)為step(n - 1)。
   

則可以得到遞推式

step(n) = 2 * step(n - 1) + 1

之后不停地遞推下去，就會得到

step(n) = 2^n * step(0) + 2^(n - 1) + 2^(n - 2) + ...... + 2^1 + 2^0

又因為0個盤子根本不用移，所以step(0) = 0

所以step(n) = 2^(n - 1) + 2^(n - 2) + ...... + 2^1 + 2^0

之后用等比數(shù)列的公式就可以推出：step(n) = 2^n^ - 1

我們發(fā)現(xiàn)移動次數(shù)為2^n^ - 1，實際上這也是漢諾塔問題最少的移動次數(shù)。所以最后得出解決漢諾塔問題的算法時間復(fù)雜度為O(2^n^)。

代碼

# include <cstdio>
# include <iostream> 
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>

using namespace std;

int n;
char a, b, c;

// hanoi(num, l, mid, r)表示需要將num個盤子從柱子l通過柱子mid移動到柱子r。
void hanoi(int num, char l, char mid, char r)
{
  if (num == 1) printf("%c->%d->%c\n", l, num, r);
  else {
    hanoi(num - 1, l, r, mid);
    printf("%c->%d->%c\n", l, num, r);
    hanoi(num - 1, mid, l, r);
  }
}

int main()
{
  scanf("%d", &n);
  cin >> a >> b >> c;
  hanoi(n, a, c, b); // 這里因為題目中是讓所有盤子從左面的柱子移動到中間的柱子，既從a到b。
  return 0;
}

就是小編整理的全部相關(guān)知識點，感謝大家的學(xué)習(xí)和對腳本之家的支持。

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