廣義線(xiàn)性模型（GLM）是常見(jiàn)正態(tài)線(xiàn)性模型的直接推廣，它可以適用于連續(xù)數(shù)據(jù)和離散數(shù)據(jù)，特別是后者，如屬性數(shù)據(jù)、計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)。這在應(yīng)用上，尤其是生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析上，有著重要意義。

對(duì)于廣義線(xiàn)性模型應(yīng)有一下三個(gè)概念：

• 第一是線(xiàn)性自變量，它表明第i個(gè)響應(yīng)變量的期望值E(yi)只能通過(guò)線(xiàn)性自變量βTxi而依賴(lài)于xi，其中如通常一樣，β是未知參數(shù)的(p+1)x1向量，可能包含截距。
• 第二是連續(xù)函數(shù)，它說(shuō)明線(xiàn)性自變量和E(yi)的關(guān)系，給出了線(xiàn)性模型的推廣。
• 第三是誤差函數(shù)，它說(shuō)明廣義線(xiàn)性模型的最后一部分隨機(jī)成分。

我們保留樣本為相互獨(dú)立的假設(shè)，但去掉可加和正態(tài)誤差的假設(shè)?？梢詮闹笖?shù)型分布族中作選一個(gè)作為誤差函數(shù)。

1 與廣義線(xiàn)性模型有關(guān)的R函數(shù)

R軟件提供了擬合計(jì)算廣義線(xiàn)性模型的函數(shù)glm()，其命令格式如下：

其中：

• formula是擬合公式，這里的意義與線(xiàn)性模型相同，
• family是分布族，即前面講到的廣義線(xiàn)性模型的種類(lèi)，如正態(tài)分布，Poisson分布，二項(xiàng)分布等。
• data是數(shù)據(jù)框，這里的意義與線(xiàn)性模型相同。

對(duì)于每個(gè)分布族（family），提供了相應(yīng)的連接函數(shù)，如表6.12所示：

有了這些分布族和連接函數(shù)，我么就可以完成相應(yīng)的廣義線(xiàn)性模型的擬合問(wèn)題。

2 正態(tài)分布族

正態(tài)分布族的使用方法是：

式中l(wèi)ink=identity可以不寫(xiě)，因?yàn)檎龖B(tài)分布族的連接函數(shù)缺省值是恒等（identity）。事實(shí)上，整個(gè)參數(shù)family = gaussian也可以不寫(xiě)，因?yàn)榉植甲宓娜笔≈稻褪钦龖B(tài)分布。

從表6.11可以看出，正態(tài)分布族的廣義線(xiàn)性模型實(shí)際上與線(xiàn)性模型是相同的，也就是說(shuō)：

與線(xiàn)性模型

有完全相同的計(jì)算結(jié)果，但效率卻低的多。

3 二項(xiàng)分布族

在二項(xiàng)分布族中，logistic回歸模型是最重要的模型。在某些回歸問(wèn)題中，相應(yīng)變量使分類(lèi)的，經(jīng)常是或者成功，或者失敗。對(duì)于這些問(wèn)題，正態(tài)線(xiàn)性模型顯然是不合適的，因?yàn)檎龖B(tài)誤差不對(duì)應(yīng)一個(gè)0-1相應(yīng)。在這種情況下，可用一種重要的方法稱(chēng)為logistic回歸。

用R軟件計(jì)算logistic回歸模型的公式為：

式中l(wèi)ink=logit可以不寫(xiě)，因?yàn)閘ogit是二項(xiàng)分布族連接函數(shù)是缺省狀態(tài)。

在用glm()函數(shù)做logistic回歸模型使，對(duì)于公式formula有兩種輸入方法，一種是輸入成功和失敗的次數(shù)，另一種像線(xiàn)性模型通常數(shù)據(jù)的輸入方式。

例  R. Norell實(shí)驗(yàn)

為研究高壓電線(xiàn)對(duì)牲畜的影響，R.Norell研究小的電流對(duì)農(nóng)場(chǎng)動(dòng)物的影響。他在實(shí)驗(yàn)中，選擇了7頭，6種電流強(qiáng)度，0,1,2,3,4,5毫安。每頭牛被點(diǎn)擊30下，每種強(qiáng)度5下，按隨機(jī)的次序進(jìn)行。然后重復(fù)整個(gè)實(shí)驗(yàn)，每頭?？偣脖稽c(diǎn)擊60下。對(duì)每次電擊，相應(yīng)變量——嘴巴運(yùn)動(dòng)，或者出現(xiàn)，或者未出現(xiàn)。表6.13中的數(shù)據(jù)給出每種電擊強(qiáng)度70次實(shí)驗(yàn)中相應(yīng)的總次數(shù)。試分析電擊對(duì)牛的影響。

解：用數(shù)據(jù)框形式輸入數(shù)據(jù)，在構(gòu)造矩陣，一列是成功（響應(yīng)）的次數(shù)，另一列是失敗（不響應(yīng)）的次數(shù)，然后在做logistic回歸。其程序如下：

首先構(gòu)造出的數(shù)據(jù)框如下：

對(duì)構(gòu)造好的數(shù)據(jù)框進(jìn)行處理如下：

構(gòu)建logistic模型如下：

與線(xiàn)性回歸模型相同，在得到回歸模型后，可以作出預(yù)測(cè)。例如，當(dāng)電流強(qiáng)度為3.5毫安時(shí)，有相應(yīng)的牛的概率為多少？

即：74.26%。

可以作出控制，如有50%的牛有相應(yīng)，其電流強(qiáng)度為多少？

即：2.65毫安的電流強(qiáng)度，可以使50%的牛有響應(yīng)。

最后畫(huà)出相應(yīng)的比例與logistic回歸曲線(xiàn)。R軟件的繪圖命令如下：

在程序中，d是給出曲線(xiàn)橫坐標(biāo)的點(diǎn)，pre是計(jì)算預(yù)測(cè)值，p是相應(yīng)的預(yù)測(cè)概率。用plot函數(shù)和lines函數(shù)給出散點(diǎn)圖和對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)。

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