標量

標量由普通小寫字母表示（例如，x、y和z）。我們用 R \mathbb{R} R表示所有（連續(xù)）實數(shù)標量的空間。

標量由只有一個元素的張量表示。下面代碼，我們實例化了兩個標量，并使用它們執(zhí)行一些熟悉的算數(shù)運算，即加法、乘法、除法和指數(shù)。

import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x ** y

tensor([5]), tensor([6]), tensor([1.5]), tensor([9])

向量

向量是標量值組成的列表，我們將這些標量值稱為向量的元素或分量。
在數(shù)學表示法中，我們通常將向量記為粗體、小寫的符號（例如， x \mathbf{x} x、 y \mathbf{y} y和 z \mathbf{z} z）

我們通過一維張量處理向量。一般來說，張量可以具有任意長度，最大長度取決于機器的內存限制。

x = torch.arange(4)

tensor([0, 1, 2, 3])

大量文獻認為列向量是向量的默認方向。在數(shù)學中，向量 x \mathbf{x} x可以寫為：

我們可以通過張量的索引來訪問任一元素。

x[3]

tensor(3)

長度、維度和形狀

在數(shù)學表示法中，如果我們想說一個向量 x \mathbf{x} x由 n n n個實值標量組成，我們可以將其表示為 x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} x∈Rn。向量的長度通常稱為向量的維度。

與普通的Python數(shù)組一樣，我們可以通過調用Python的內置len()函數(shù)來訪問張量的長度。

len(x)

4

當用張量表示一個向量（只有一個軸）時，我們也可以通過.shape屬性訪問向量的長度。形狀（shape）是一個元組，列出了張量沿每個軸的長度（維數(shù)）。對于只有一個軸的張量，形狀只有一個元素。

x.shape

torch.Size([4])

注意，維度（dimension）這個詞在不同上下文時往往會有不同的含義，這經常會使人感到困惑。為了清楚起見，我們在此明確一下。向量或軸的維度被用來表示向量或軸的長度，即向量或軸的元素數(shù)量。然而，張量的維度用來表示張量具有的軸數(shù)。在這個意義上，張量的某個軸的維數(shù)就是這個軸的長度。

矩陣

當矩陣具有相同數(shù)量的行和列時，其形狀將變?yōu)檎叫?；因此，它被稱為方矩陣。

當調用函數(shù)來實例化張量時，我們可以通過指定兩個分量m和n來創(chuàng)建一個形狀為 m×n的矩陣。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

A.T

tensor([[0, 4, 8, 12, 16],
        [1, 5, 9, 13, 17],
        [2, 6, 10, 14, 18],
        [3, 7, 11, 15, 19]])

矩陣是有用的數(shù)據(jù)結構：它們允許我們組織具有不同變化模式的數(shù)據(jù)。例如，我們矩陣中的行可能對應于不同的房屋（數(shù)據(jù)樣本），而列可能對應于不同的屬性。因此，盡管單個向量的默認方向是列向量，但在表示表格數(shù)據(jù)集的矩陣中，將每個數(shù)據(jù)樣本作為矩陣中的行向量更為常見。

張量

張量為我們提供了描述具有任意數(shù)量軸的 n n n維數(shù)組的通用方法。

當我們開始處理圖像時，張量將變得更加重要，圖像以 n n n維數(shù)組形式出現(xiàn)，其中3個軸對應于高度、寬度以及一個通道（channel）軸，用于堆疊顏色通道（紅色、綠色和藍色）?，F(xiàn)在，我們將跳過高階張量，集中在基礎知識上。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)

tensor([[[0, 1, 2, 3],
         [4, 5, 6, 7],
         [8, 9, 10, 11]],
        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

張量算法的基本性質

任何按元素的一元運算都不會改變其操作數(shù)的形狀。同樣，給定具有相同形狀的任意兩個張量，任何按元素二元運算的結果都將是相同形狀的張量。例如，將兩個相同形狀的矩陣相加會在這兩個矩陣上執(zhí)行元素的加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone
A, A + B

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]]),
tensor([[0, 2, 4, 6],
        [8, 10, 12, 14],
        [16, 18, 20, 22],
        [24, 26, 28, 30],
        [32, 34, 36, 38]])

具體而言，兩個矩陣按元素乘法稱為哈達瑪積。

A * B

tensor([[0, 1, 4, 9],
        [16, 25, 36, 49],
        [64, 81, 100, 121],
        [144, 169, 196, 225],
        [256, 289, 324, 361]])

將張量乘以或加上一個標量不會改變張量的形狀，其中張量的每個元素都將與標量相加或相乘。

降維

我們可以對任意張量進行一個有用的操作是計算其元素的和。在代碼中，我們可以調用計算求和的函數(shù)：

x = torch.arange(4, dtype = torch.float32)
x.sum()

tensor(6)

默認的情況下，調用求和函數(shù)會沿所有的軸降低張量的維度，使它變?yōu)橐粋€標量。我們還可以指定張量沿哪一個軸來通過求和降低維度。以矩陣為例，為了通過求和所有行的元素來降維（軸0），我們可以在調用函數(shù)時指定axis = 0。由于輸入矩陣沿著0軸降維以生成輸出張量，因此輸入的軸0的維數(shù)在輸出形狀中丟失。

A.shape

torch.Size([5, 4])

A_sum_axis0 = A.sum(axis = 0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

tensor([40, 45, 50, 55]), torch.Size([4])

指定axis = 1將通過匯總所有列的元素降維（軸1）。因此，輸入的軸1的維數(shù)在輸出形狀中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis = 1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

tensor([6, 22, 38, 54, 70]), torch.Size([5])

沿著行和列對矩陣求和，等價于對矩陣的所有元素進行求和。

A.sum(axis=[0, 1])

tensor(190)

一個與求和相關的量是平均值。在代碼中，我們可以調用函數(shù)來計算任意形狀張量的平均值。

A.mean()

同樣，計算平均值的函數(shù)也可以沿指定軸降低張量的維度。

A.mean(axis = 0)

點積

最基本的操作是點積。
給定兩個向量，點積是它們相同位置的按元素乘積的和。

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

tensor([0, 1, 2, 3]), tensor([1, 1, 1, 1]), tensor(6)

矩陣-矩陣乘法

在下面的代碼中，我們在A和B上執(zhí)行矩陣乘法。這里的A是一個5行4列的矩陣，B是一個4行3列的矩陣。相乘后，我們得到一個5行3列的矩陣。

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

范數(shù)

線性代數(shù)中最有用的一些運算符是范數(shù)。非正式地說，一個向量的范數(shù)告訴我們一個向量有多大。這里考慮的大小（size）概念不涉及維度，而是分量的大小。

在線性代數(shù)中，向量范數(shù)是將向量映射到標量的函數(shù) f f f。向量范數(shù)要滿足一些屬性。給定任意向量 x \mathbf{x} x，第一個性質來說，如果我們按常數(shù)因子 α \alpha α縮放向量的所有元素，其范數(shù)也會按相同常數(shù)因子的絕對值縮放：

第二個性質是我們熟悉的三角不等式：

第三個性質簡單地說范數(shù)必須是非負的。

最后一個性質要求范數(shù)最小為0，當且僅當向量全由0組成。

u = torch.tensor([3, 4])
torch.norm(u)

u = torch.tensor([3, 4])
torch.abs(u).sum()

tensor(7)

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

范數(shù)和目標：

在深度學習中，我們經常試圖解決優(yōu)化問題：最大化分配給觀測數(shù)據(jù)的概率；最小化預測和真實觀測之間的距離。用向量表示物品（如單詞、產品或新聞文章），以便最小化相似項目之間的距離，最大化不同項目之間的距離。通常，目標，或許是深度學習算法最終要的組成部分（除了數(shù)據(jù)），被表達為范數(shù)。

以上就是Python深度學習線性代數(shù)示例詳解的詳細內容，更多關于Python線性代數(shù)的資料請關注腳本之家其它相關文章！

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