1.鏈式法則

根據(jù)以前的知識，如果我們需要尋找到目標參數(shù)的值的話，我們需要先給定一個初值，然后通過梯度下降，不斷對其更新，直到最終的損失值最小即可。而其中最關鍵的一環(huán)，就是梯度下降的時候，需要的梯度，也就是需要求最終的損失函數(shù)對參數(shù)的導數(shù)。

如下圖，假設有一個神經(jīng)元，是輸入層，有2個數(shù)據(jù)，參數(shù)分別是w1和w2，偏置項為b，那么我們需要把這些參數(shù)組合成一個函數(shù)z，然后將其輸入到sigmoid函數(shù)中，便可得到該神經(jīng)元的輸出結果。過程中，z對w求導十分好算，就是x1和x2。根據(jù)鏈式法則，如下圖左下角所示，我們整體的計算過程就是，通過前向傳播求出z對w的偏導，再通過反向傳播找到損失函數(shù)C對z的偏導。

2.前向傳播

計算z對w的偏導：前向傳播相當簡單，對參數(shù)的偏導結果就是參數(shù)對應的輸入數(shù)據(jù)，如下圖所示。輸入數(shù)據(jù)對于輸入層來說就是原始數(shù)據(jù)1和-1，對于其他層，輸入數(shù)據(jù)就是通過sigmoid轉換后的輸出結果。

3.后向傳播

計算C對z的偏導：

設每一個神經(jīng)元中，sigmoid函數(shù)最終的輸出為a，則C對z的偏導，根據(jù)鏈式法則，就可以寫作a對z的偏導，乘上C對a的偏導。

a對z的偏導，只是一個sigmoid函數(shù)，該函數(shù)偏導可以計算。

C對a的偏導，由于a輸入進了下一層的多個神經(jīng)元，假設有2個，因此，C對a的偏導，等于分別對這兩個神經(jīng)元求偏導并求和。比如第一個神經(jīng)元z' = 輸入a*權重w3+...，那么C對這個神經(jīng)元求偏導，就是C對z'求偏導，乘上z'對a求偏導，后一項十分簡單，就是w3；對于z''來說，對a求偏導就是w4

那么問題又變成了，C對z', z''求偏導的結果是什么？

假！如！ 損失函數(shù)C對z'和z''的偏導已知了：

以上C對z求偏導的計算過程，可以寫作以下的式子，括號外就是a對z求偏導，括號內就是C對a求偏導：

這個式子可以看做一個反向傳播的神經(jīng)元，如下圖所示：

這個神經(jīng)元中，損失函數(shù)C對sigmoid轉化前的z' 和z''求導的結果，就是輸入，權重w3,w4是輸入對應的權重，將這兩個輸入乘上參數(shù)后相加，再和sigmoid函數(shù)對z的導數(shù)相乘，最終得到C對z的偏導。而sigmoid對z的導數(shù)，這個是常數(shù)，并且已經(jīng)是確定了的，因為我們通過前向傳播計算，就已經(jīng)能夠將其確定。

有了第一個反向傳播的輸出結果，那么就可以有隱藏層的其他神經(jīng)元所需要的結果，以此類推，對于所有神經(jīng)元，我們均可算出損失函數(shù)對其z的偏導。有了這個，那么我們結合z對w的偏導，就可以計算出每一個參數(shù)w的梯度。從而進行梯度下降。

4.計算方式整理

假設我們計算的是輸出層，那么我們通過前向傳播后，已經(jīng)得到了一個輸出了，于是就已經(jīng)有損失函數(shù)C了，同時前向傳播也讓我們得到了z'和z''，那么所有需要的數(shù)據(jù)已就緒，可以直接計算出來C對z'和z''的偏導。

假如我們計算的是中間層，在計算C對z'的偏導的時候，還需要下一層通過反向傳播給到的C對兩個其他z的結果，那么我們就繼續(xù)往下計算，繼續(xù)尋找下一層計算的時候，需要的下下一層的信息，一直到輸出層后，我們得到一個，再往回推，以此遞歸計算前面待定的所有項。

5.總結

既然我們需要輸出層的內容作為反向傳播的輸入，我們在進行完前向傳播之后，就別考慮前面需要什么求導了，干脆直接從結尾開始算起，得到每一層的損失函數(shù)C對每一個z的偏導即可。

至此，我們得到了每一個神經(jīng)元前向傳播的z對w的偏導（其實就是sigmoid轉化后的輸出a），以及每一個神經(jīng)元反向傳播后的C對z的偏導，二者相乘，就得到了我們需要的結果，也就是每一個參數(shù)的梯度。

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