Python實現(xiàn)多項式擬合正弦函數(shù)詳情
1. 實驗目的
掌握最小二乘法求解（無懲罰項的損失函數(shù)）、掌握加懲罰項（2 范數(shù)）的損失函數(shù)優(yōu)化、梯度下降法、共軛梯度法、理解過擬合、克服過擬合的方法(如加懲罰項、增加樣本)
2. 實驗要求
生成數(shù)據(jù)，加入噪聲；
用高階多項式函數(shù)擬合曲線；
用解析解求解兩種 loss 的最優(yōu)解（無正則項和有正則項）
優(yōu)化方法求解最優(yōu)解（梯度下降，共軛梯度）；
用你得到的實驗數(shù)據(jù)，解釋過擬合。
用不同數(shù)據(jù)量，不同超參數(shù)，不同的多項式階數(shù)，比較實驗效果。
語言不限，可以用 matlab，python。求解解析解時可以利用現(xiàn)成的矩陣求逆。梯度下降，共軛梯度要求自己求梯度，迭代優(yōu)化自己寫。不許用現(xiàn)成的平臺，例如 pytorch，tensorflow 的自動微分工具。
3. 實驗內(nèi)容
3.1 算法原理
本實驗需要用多項式來擬合正弦函數(shù)。在 m 階多項式中，有 m+1 個待定系數(shù)，m+1 個系數(shù)（由低到高）組成的（列）向量記作 w。要確定 w，用最小二乘法。
設 E(w) = 1/2 * (Xw – Y)^T(Xw – Y)，其中，X 為多項式中各個未知項代入觀測數(shù)據(jù)求得的矩陣，若記 Xi 為 X 的第 i 行的向量，則 Xi[j]為第 i 個觀測數(shù)據(jù) xi 的 j 次方，記有 n 組觀測數(shù)據(jù)，多項式最高次為 m，易知 X 的維度為 n * (m+1)。Y 為觀測標簽向量。即 Y[j]為第 j 組觀測數(shù)據(jù)的標簽值（即 y 值）。從而問題轉化為：求向量 w，使得 E(w)最小。
- 若不加入正則項，令損失函數(shù)導數(shù)為零，求 w
- 若加入正則項，令損失函數(shù)導數(shù)為零，求 w
- 加入正則項，對損失函數(shù)用梯度下降，當損失函數(shù)收斂時，求 w
- 加入正則項，對損失函數(shù)用共軛梯度法，循環(huán)迭代 m+1 次，求 w 3.2 算法實現(xiàn) 生成數(shù)據(jù)，加入噪聲
用高階多項式函數(shù)擬合曲線；
用解析解求解兩種 loss 的最優(yōu)解（無正則項和有正則項）
無正則項：
有正則項：
優(yōu)化方法求解最優(yōu)解（梯度下降，共軛梯度）
梯度下降法：
共軛梯度法：
用你得到的實驗數(shù)據(jù)，解釋過擬合。
多項式次數(shù)為 1 時：
多項式次數(shù)為 3 時：
當多項式次數(shù)為 5 時：
當多項式次數(shù)為 7 時：
當多項式次數(shù)為 9 時：
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