Python基于歐拉角繪制一個(gè)立方體

更新時(shí)間：2023年02月27日 16:55:37 作者：微小冷

這篇文章主要為大家詳細(xì)介紹了Python如何基于歐拉角實(shí)現(xiàn)繪制一個(gè)立方體，文中的示例代碼講解詳細(xì)，感興趣的小伙伴可以跟隨小編一起學(xué)習(xí)一下

先畫個(gè)立方體

工欲善其事、必先利其器，在開(kāi)始學(xué)習(xí)歐拉角模擬之前，可先繪制一個(gè)立方體。

在matplotlib中，這個(gè)任務(wù)可通過(guò)plt.voxels實(shí)現(xiàn)，下面先繪制一個(gè)最質(zhì)樸的立方體

代碼為

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
filled = np.ones((1,1,1))
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)
plt.show()

其中，x,y,z表示頂點(diǎn)，filled表示被填充的區(qū)域。由于其頂點(diǎn)數(shù)量為2×2×2，故只有一個(gè)立方體，從而filled是一個(gè)1×1×1的張量。

有了立方體之后，就可以進(jìn)行歐拉角仿真了。

歐拉角和旋轉(zhuǎn)矩陣

為了盡快進(jìn)入演示部分，故對(duì)原理的介紹從略，僅從二維平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣出發(fā)，做一個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，而三維旋轉(zhuǎn)矩陣，至少在形式上與二維是雷同的。

假設(shè)坐標(biāo)系中有一個(gè)向量(x,y)，其模長(zhǎng)為r=√x²+y²，角度為θ₀=arctan(y/x).若將其圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，則其坐標(biāo)變?yōu)?/p>

由于x=rcosθ₀, y=rsinθ₀，則上式可以寫為

寫成矩陣形式即為

也就是說(shuō)，在平面直角坐標(biāo)系上，向量繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，相當(dāng)于左乘一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。

推廣到三維，為了限制xy坐標(biāo)平面上的旋轉(zhuǎn)，要將其旋轉(zhuǎn)中心從原點(diǎn)擴(kuò)展為繞著z軸旋轉(zhuǎn)，從而三維旋轉(zhuǎn)矩陣可推廣為

同理可得到繞三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矩陣，為了書(shū)寫方便，記S_θ=sinθ,C_θ=cosθ，可列出下表。

初步演示

將旋轉(zhuǎn)矩陣寫成函數(shù)是十分方便的，下面用lambda表達(dá)式來(lái)實(shí)現(xiàn)

import numpy as np
# 將角度轉(zhuǎn)弧度后再求余弦
cos = lambda th : np.cos(np.deg2rad(th))
sin = lambda th : np.sin(np.deg2rad(th))

# 即 Rx(th) => Matrix
Rx = lambda th : np.array([
    [1, 0,       0],
    [0, cos(th), -sin(th)],
    [0, sin(th), cos(th)]])
Ry = lambda th : np.array([
    [cos(th),  0, sin(th)],
    [0      ,  1, 0],
    [-sin(th), 0, cos(th)]
])
Rz = lambda th : np.array([
    [cos(th) , sin(th), 0],
    [-sin(th), cos(th), 0],
    [0       , 0,       1]])

有了旋轉(zhuǎn)矩陣，就可以旋轉(zhuǎn)，接下來(lái)讓正方體沿著三個(gè)軸分別旋轉(zhuǎn)30°，其效果如下

由于ax.voxels在繪圖時(shí)，要求輸入的是擁有三個(gè)維度的數(shù)組，而旋轉(zhuǎn)矩陣是3 × 3 3\times33×3矩陣，相當(dāng)于是二維數(shù)組，彼此之間可能很難計(jì)算，所以實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要對(duì)數(shù)組維度進(jìn)行調(diào)整

import matplotlib.pyplot as plt
# 用于批量調(diào)節(jié)x,y,z的數(shù)組維度
Reshape = lambda x,y,z : [x.reshape(2,2,2), y.reshape(2,2,2), z.reshape(2,2,2)]


filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
# 將x,y,z展開(kāi)，以便于矩陣計(jì)算
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 此為未旋轉(zhuǎn)的正方體
ax = fig.add_subplot(1,4,1, projection='3d')
ax.voxels(x,y,z, filled=filled)

# 繞x軸旋轉(zhuǎn)30°
X, Y, Z = Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 繞y軸旋轉(zhuǎn)30°
X, Y, Z = Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 繞z軸旋轉(zhuǎn)30°
X, Y, Z = Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,4,4, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

不同轉(zhuǎn)動(dòng)順序的影響

眾所周知，矩陣計(jì)算是不能交換的，反映到實(shí)際生活中，就是不同的旋轉(zhuǎn)次序，可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的結(jié)果，接下來(lái)沿著不同的旋轉(zhuǎn)次序，來(lái)對(duì)正方體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，效果如下

需要注意的是，由于矩陣左乘向量表示對(duì)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，所以距離向量最近的矩陣表示最先進(jìn)行的操作，即R_zR_yR_xr ? 表示先轉(zhuǎn)Rx ,Ry次之，R_z最后。

代碼如下

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

fig = plt.figure("rotate")
# 旋轉(zhuǎn)順序 x, y, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Ry(30) @ Rx(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,1, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋轉(zhuǎn)順序 z, y, x
X, Y, Z = Rx(30) @ Ry(30) @ Rz(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,2, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

# 旋轉(zhuǎn)順序 y, x, z
X, Y, Z = Rz(30) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
ax = fig.add_subplot(1,3,3, projection='3d')
ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)

plt.show()

總之，雖然分不清誰(shuí)是誰(shuí)，但最起碼可以看清楚，不同的旋轉(zhuǎn)順序的確導(dǎo)致了不同的旋轉(zhuǎn)結(jié)果。

旋轉(zhuǎn)演示

為了更加清楚地表示這一過(guò)程，可以將正方體的旋轉(zhuǎn)過(guò)程繪制下來(lái)，先考慮單軸旋轉(zhuǎn)，假設(shè)每次旋轉(zhuǎn)3°，繞X軸旋轉(zhuǎn)30次，則可得到

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
import imageio

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

def saveGif(X,Y,Z, gifs):
    plt.cla()
    ax = plt.subplot(projection='3d')
    ax.voxels(*Reshape(X, Y, Z), filled=filled)
    ax.set_xlim(-0.5,1.5)
    ax.set_ylim(-0.5,1.5)
    ax.set_zlim(-0.5,1.5)
    ax.set_title(f"theta={th}")
    plt.tight_layout()
    plt.savefig(f"tmp.jpg")
    gifs.append(imageio.imread(f"tmp.jpg"))

gifImgs = []
th = 0

for i in range(30):
    X,Y,Z = Rx(th)@xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

通過(guò)這個(gè)方法，可以將不同順序的旋轉(zhuǎn)矩陣可視化表示，

filled = np.ones((1,1,1))
x, y, z = np.indices((2, 2, 2))
xyz = np.array([x,y,z]).reshape(3,-1)

gifImgs = []
th = 0
for _ in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(0) @ Ry(th) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(0) @ Rx(th) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

th = 0
for i in range(10):
    X,Y,Z = Rz(th) @ Rx(30) @ Ry(30) @ xyz
    th += 3
    saveGif(X, Y, Z, gifImgs)

imageio.mimsave("test.gif",gifImgs,fps=10)

最后得到三種不同旋轉(zhuǎn)順序的區(qū)別

x-y-z

z-y-x

y-x-z

到此這篇關(guān)于Python基于歐拉角繪制一個(gè)立方體的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python歐拉角實(shí)現(xiàn)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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