求斐波那契(Fibonacci)數(shù)列通項的七種實現(xiàn)方法
使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次遞歸計算，遞歸結(jié)束條件是f[1]=1，f[2]=1。
二：數(shù)組實現(xiàn)
空間復(fù)雜度和時間復(fù)雜度都是0(n)，效率一般，比遞歸來得快。
三：vector<int>實現(xiàn)
時間復(fù)雜度是0(n)，時間復(fù)雜度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，當(dāng)然vector有自己的屬性會占用資源。
四：queue<int>實現(xiàn)
當(dāng)然隊列比數(shù)組更適合實現(xiàn)斐波那契數(shù)列，時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度和vector<int>一樣，但隊列太適合這里了，
f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有關(guān)，f(n)入隊列后，f(n-2)就可以出隊列了。
五：迭代實現(xiàn)
迭代實現(xiàn)是最高效的，時間復(fù)雜度是0(n)，空間復(fù)雜度是0(1)。
六：公式實現(xiàn)
百度的時候，發(fā)現(xiàn)原來斐波那契數(shù)列有公式的，所以可以使用公式來計算的。
由于double類型的精度還不夠，所以程序算出來的結(jié)果會有誤差，如果把公式展開計算，得出的結(jié)果就是正確的。
完整的實現(xiàn)代碼如下：
#include "iostream"
#include "queue"
#include "cmath"
using namespace std;
int fib1(int index) //遞歸實現(xiàn)
{
if(index<1)
{
return -1;
}
if(index==1 || index==2)
return 1;
return fib1(index-1)+fib1(index-2);
}
int fib2(int index) //數(shù)組實現(xiàn)
{
if(index<1)
{
return -1;
}
if(index<3)
{
return 1;
}
int *a=new int[index];
a[0]=a[1]=1;
for(int i=2;i<index;i++)
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
int m=a[index-1];
delete a; //釋放內(nèi)存空間
return m;
}
int fib3(int index) //借用vector<int>實現(xiàn)
{
if(index<1)
{
return -1;
}
vector<int> a(2,1); //創(chuàng)建一個含有2個元素都為1的向量
a.reserve(3);
for(int i=2;i<index;i++)
{
a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));
a.pop_back();
}
return a.at(0);
}
int fib4(int index) //隊列實現(xiàn)
{
if(index<1)
{
return -1;
}
queue<int>q;
q.push(1);
q.push(1);
for(int i=2;i<index;i++)
{
q.push(q.front()+q.back());
q.pop();
}
return q.back();
}
int fib5(int n) //迭代實現(xiàn)
{
int i,a=1,b=1,c=1;
if(n<1)
{
return -1;
}
for(i=2;i<n;i++)
{
c=a+b; //輾轉(zhuǎn)相加法（類似于求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法）
a=b;
b=c;
}
return c;
}
int fib6(int n)
{
double gh5=sqrt((double)5);
return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);
}
int main(void)
{
printf("%d\n",fib3(6));
system("pause");
return 0;
}
七：二分矩陣方法
如上圖，F(xiàn)ibonacci 數(shù)列中任何一項可以用矩陣冪算出，而n次冪是可以在logn的時間內(nèi)算出的。
下面貼出代碼：
void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)
{
int tmp[4];
tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];
tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];
tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];
tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];
c[0][0]=tmp[0]%mod;
c[0][1]=tmp[1]%mod;
c[1][0]=tmp[2]%mod;
c[1][1]=tmp[3]%mod;
}//計算矩陣乘法，c=a*b
int fibonacci(int n,int mod)//mod表示數(shù)字太大時需要模的數(shù)
{
if(n==0)return 0;
else if(n<=2)return 1;//這里表示第0項為0，第1，2項為1
int a[2][2]={{1,1},{1,0}};
int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化為單位矩陣
int s;
n-=2;
while(n>0)
{
if(n%2 == 1)
multiply(result,result,a,mod);
multiply(a,a,a,mod);
n /= 2;
}//二分法求矩陣冪
s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//結(jié)果
return s;
}
附帶的再貼上二分法計算a的n次方函數(shù)。
int pow(int a,int n)
{
int ans=1;
while(n)
{
if(n&1)
ans*=a;
a*=a;
n>>=1;
}
return ans;
}
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